Теорія міри та інтеграла

Курс «Теорія міри та інтегралу» є необхідною складовою частиною базової теоретичної підготовки студента-математика та основою для подальшого вивчення спеціальний дисциплін.

Він дає можливість засвоїти основні теоретичні відомості з абстрактної теорії міри та теорії інтегралу Лебега, а також практичні вміння та навички що до обчислення міри множин на прямій та інтегрування функцій однієї змінної.

Мета полягає у викладенні основних понять і фактів сучасної теорії міри та інтегралу на базі теорії множин, вищої алгебри та математичного аналізу.

Завданням є розглянути основні поняття теорії міри, вимірних функцій та інтегралу, навчити типовим методам обчислення мір множин, інтегралів від вимірних функцій та застосуванню цих методів в різних розділах математики, сприяти засвоєнню знань, необхідних для подальшого вивчення теорії інтегральних рівнянь та функціонального аналізу.

Предмет навчальної дисципліни „теорія міри та інтеграла”: міра Лебега, інтеграл Лебега, вимірні функції, простори інтегрованих функцій

У результаті вивчення навчального курсу студент повинен

знати:

  • поняття міри та вимірних множин;
  • поняття півкільця, кільця, алгебри та сигма- кільця, алгебри;
  • борелівську класифікацію множин;
  • алгоритм побудови міри Лебега;
  • означення вимірної функції;
  • властивості вимірних функцій;
  • означення та способи обчислення інтегралу Лебега, невизначеного інтеграла Лебега, інтегралів Лебега-Стільтьєса;
  • основні твердження про збіжність інтегралів та вимірних функцій.

вміти:

  • перевіряти замкненість, відкритість, вимірність множин, належність до відповідних борелівських класів;
  • перевіряти вимірність та інтегрованість за Лебегом функцій;
  • обчислювати міру Лебега, Лебега-Стільтьєса різних множин;
  • визначати значення інтеграла Лебега, Лебега-Стільтьєса в різних випадках;
  • знаходити зв'язок з інтегралом Рімана;
  • застосовувати теорему Фубіні.

Дисципліна спрямована на формування загальнонаукової та математичної компетентності.

Програма дисципліни містить такі розділи: Основні класи множин. Міра та її властивості.  Вимірні функції. Інтеграл Лебега.