Асимптотичні методи в теорії диференціальних рівнянь
Мета викладання дисципліни: розкрити суть, зміст, місце і роль асимптотичних методів в диференціальних рівняннях, показати способи побудови асимптотичних розв’язків при розв’язуванні лінійних диференціальних рівнянь з малим параметром при похідних і змінними коефіцієнтами.
Завдання:
– розкрити суть і зміст асимптотичного ряду;
– навести приклади практичної побудови асимптотичних розв’язків задач з фізики, механіки та інших наук;
– розглянути способи розв’язування систем однорідних лінійних диференціальних рівнянь з малим параметром при похідній у випадку простого спектру матриці системи і змінних коефіцієнтів;
– розкрити способи розв’язування систем неоднорідних лінійних диференціальних рівнянь з малим параметром при похідній;
– розкрити суть «резонансу» і «нерезонансу» в неоднорідних системах диференціальних рівнянь;
– розглянути способи розв’язування однорідних і неоднорідних систем диференціальних рівнянь у випадку кратних коренів характеристичного рівняння матриці системи;
– розглянути приклади систем лінійних диференціальних рівнянь з малим параметром при похідній і змінними коефіцієнтами.
У результаті вивчення навчальної дисципліни випускник повинен
знати:
– суть і зміст поняття «асимптотичний ряд»;
– приклади розв’язування диференціальних рівнянь асимптотичними методами, котрі виникли в різних науках;
– асимптотичні способи розв’язування диференціальних рівнянь і систем диференціальних рівнянь з малим параметром при похідній і змінними коефіцієнтами;
– способи побудови формальних рядів-розв’язків і способи доведення точності наближення розв’язку відрізком ряду;
– резонансний і нерезонансний випадки при розв’язуванні неоднорідних диференціальних рівнянь.
Магістранти повинні уміти:
– будувати формальні розв’язки у вигляді ряду за малим параметром і доводити точність розв’язку наближеним відрізком ряду;
– використовувати знання лінійної алгебри при побудові асимптотичних розв’язків однорідних систем диференціальних рівнянь з малим параметром при похідній і змінними коефіцієнтами;
– розв’язувати нескінчену матричну лінійну систему, котра виникає при побудові асимптотичних розв’язків лінійних систем диференціальних рівнянь;
– виділяти резонансний і нерезонансний випадки при побудові асимптотичних розв’язків;
– розв’язувати приклади задач з різних наук, котрі можна розв’язувати асимптотичними методами;
– використовувати Maple-технологію при значних перетвореннях в процесі побудови асимптотичних розв’язків.
Навчальна дисципліна спрямована на формування ключових, загальнонаукових, математичних компетентностей.
Програма дисципліни містить такі розділи:
Розв’язування лінійних скалярних диференціальних рівнянь з малим параметром при похідній і змінними коефіцієнтами асимптотичними методами. Розв’язування лінійних систем диференціальних рівнянь з малим параметром при похідній і змінними коефіцієнтами. Приклади задач з різних наук, котрі приводять до лінійних диференціальних рівнянь з малим параметром і змінними коефіцієнтами.
- Викладач: Кушнір Василь Андрійович