Функціональний аналіз

Курс «функціональний аналіз» є необхідною складовою частиною базової теоретичної підготовки студента-математика та основою для подальшого вивчення спеціальних дисциплін. Для розуміння курсу функціонального аналізу необхідно вивчити курси математичного аналізу, лінійної алгебри та теорії міри та інтегралу.

У пропонованому курсі вивчаються метричні простори та їх властивості, лінійні нормовані та евклідові простори, властивості лінійних операторів та функціоналів. Курс базується на дисциплінах дискретної математики, математичного аналізу, алгебри та геометрії і є базовим для курсів додаткових розділів аналізу, математичного програмування.

Метою є ознайомлення студентів з функціональним аналізом: метричними, лінійними нормованими та гільбертовими просторами, теорією лінійних функціоналів та операторів.

Завданням є навчити студентів застосовувати властивості метричних, лінійних, нормованих та евклідових просторів, лінійних функціоналів та операторів до розв’язування конкретних задач як теоретичного, так практичного характеру.

Предмет навчальної дисципліни «функціональний аналіз»: метричні, лінійні, нормовані та евклідові простори, лінійні функціонали та оператори.

У результаті вивчення навчального курсу студент повинен

знати:

  • термінологію теорії метричних просторів;
  • основні факти про нормовані та банахові простори, класичні приклади банахових просторів;
  • теореми Гана-Банаха, Банаха-Штейнгауза та методи застосування;
  • принцип рівномірної неперервності, теорему про замкнений графік та та методи застосування цих теорем;
  • теореми про загальний вигляд лінійного функціоналу;
  • критерії компактності у нескінченновимірних просторах;
  • термінологію гільбертового простору, стандартні приклади, загальні теореми та теорію рядів Фур’є у гільбертовому просторі;
  • теореми про нерухомі точки та їх застосування;

вміти:

  • знаходити границі послідовностей елементів різних просторів;
  • досліджувати множини замкненість, відкритість;
  • досліджувати оператори у нормованих просторах на лінійність, неперервність;
  • знаходити норму лінійного оператора.

 

Дисципліна спрямована на формування загальнонаукової та математичної компетентності.

Програма дисципліни містить такі розділи: Метричні, нормовані та евклідові простори. Лінійні оператори та функціонали.